Теоретико-множественное истолкование натурального числа

Совокупность рациональных чисел оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин. Здесь оказалось необходимым новое расширение понятия числа, заключающееся в переходе от множества рациональных чисел к множеству действительных (вещественных) чисел. Этот переход состоит в присоединении к рациональным числам т. н. иррациональных чисел. Ещё в Древней Греции было сделано в геометрии открытие огромной принципиальной важности: не всякие точно заданные (что само по себе является присущей геометрии идеализацией) отрезки соизмеримы, т. е. не всегда длина отрезка может быть выражена рациональным Ч., если за единицу принят другой отрезок. Классическим примером несоизмеримых отрезков является сторона квадрата и его диагональ. Факт существования несоизмеримых отрезков не явился тормозом для развития геометрии. Греками была разработана (изложенная в «Началах» Евклида) теория отношений отрезков, учитывающая возможность их несоизмеримости. Они умели сравнивать такие отношения по величине, производить над ними арифметические действия (в чисто геометрической форме), т. е. греки обращались с такими отношениями, как с число. Однако идея о том, что отношение длин несоизмеримых отрезков может рассматриваться как число, у них не была осознана до конца. Это может быть объяснено культивировавшимся в школе, к которой принадлежал Евклид, идеалистическим отрывом теоретической математики от прикладных вопросов. В работах Архимеда мы находим значительно большую близость к прикладным вопросам, в частности приближённые вычисления отношений несоизмеримых отрезков, однако и у него не появляется понятие иррационального числа как число, выражающего отношение длин несоизмеримых отрезков.

В 17 в. в период зарождения современной науки и, в частности, современной математики разрабатывается ряд методов изучения непрерывных процессов и методов приближённых вычислений. Отчётливое определение понятия действительного числа даётся одним из основоположников математического анализа И. Ньютоном во «Всеобщей арифметике»: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу». Эта формулировка даёт единое определение действительного Ч., рационального или иррационального. В дальнейшем, в 70-х гг. 19 в., понятие действительного числа было уточнено на основе глубокого анализа понятия непрерывности в работах Р. Дедекинда, Г. Кантора и К. Вейерштрасса.

По Дедекинду, свойство непрерывности прямой линии заключается в том, что если все точки, составляющие прямую, разбить на два класса так, что каждая точка первого класса лежит левее каждой точки второго класса («разорвать» прямую на две части), то либо в первом классе найдётся самая правая точка, либо во втором — самая левая точка, т. е. точка, в которой произошёл «разрыв» прямой.

Совокупность всех рациональных чисел свойством непрерывности не обладает. Если совокупность всех рациональных чисел разбить на два класса так, что каждое число первого класса будет меньше каждого числа второго класса, то при таком разбиении («сечении» Дедекинда) может оказаться, что в первом классе не будет существовать наибольшего числа, а во втором — наименьшего. Так будет, например, если к первому классу отнести все отрицательные рациональные числа, нуль и все положительные числа, квадрат которых меньше двух, а ко второму — все положительные числа, квадрат которых больше двух. Такое сечение называется иррациональным. Затем даётся следующее определение иррационального числа: каждому иррациональному сечению в совокупности рациональных чисел сопоставляется иррациональное число, которое считается большим, чем любое число первого класса, и меньшим, чем любое число верхнего класса. Совокупность всех действительных чисел, рациональных и иррациональных, уже обладает свойством непрерывности.

Обоснование Кантора понятия действительного числа отличается от обоснования Дедекинда, но также основывается на анализе понятия непрерывности. Как в определении Дедекинда, так и в определении Кантора используется абстракция актуальной бесконечности. Так, в теории Дедекинда иррациональное число определяется посредством сечения в совокупности всех рациональных чисел, которая мыслится как данная вся целиком.

Подробно о педагогике:

Вовлечение родителей в деятельность по развитию математических способностей
В игровой форме родители могут привить малышу знания из области математики, информатики, русского языка, научить его выполнять различные действия, разовьете память, мышление, творческие способности. В процессе игры дети усваивают сложные математические понятия, учатся считать, читать и писать, а в ...

Ценности воспитания и образования
Воспитательный процесс в значительной степени носит целенаправленный характер. Он предполагает определенное направление воспитательных усилий, осознание их конечных целей, а также включает в себя содержательную сторону и средства достижения этих целей. В определении цели воспитания главенствующую р ...

Влияние внутрисемейных отношений на развитие личности глухих младших школьников
Задачи и содержание семейного воспитания глухих и слабослышащих детей зависят от возраста. С ростом и развитием ребенка педагогические приемы усложняются, появляются новые направления педагогических воздействий. При активной помощи специалистов растут опыт и педагогическая культура родителей ребенк ...