Теоретико-множественное истолкование натурального числа

При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила:

-некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения;

- каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, дается определение, в нем разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятий;

- формулируются аксиомы - предложения, которые в данной теории принимаются без доказательства; в них раскрываются свойства основных понятий;

- каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано; такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и теорем, предшествующих рассматриваемой.

Если построение теории осуществляется аксиоматическим методом, т.е. по названным выше правилам, то говорят, что теория построена дедуктивно.

При аксиоматическом построении теории по существу все утверждения выводятся путем доказательства из аксиом. Поэтому к системе аксиом предъявляются особые требования. Прежде всего, она должна быть непротиворечивой и независимой.

Система аксиом называется непротиворечивой, если из нее нельзя логически вывести два взаимно исключающих друг друга предложения.

Если система аксиом не обладает этим свойством, она не может быть пригодной для обоснования научной теории.

Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы. •

При аксиоматическом построении одной и той же теории можно использовать разные системы аксиом. Но они должны быть равносильными. Кроме того, при выборе той или иной системы аксиом математики учитывают, насколько просто и наглядно могут быть получены доказательства теорем в дальнейшем. Но если выбор аксиом условен, то сама наука или отдельная теория не зависят от каких-либо условий, - они являются отражением реального мира.

Аксиоматическое построение системы натуральных чисел осуществляется по сформулированным правилам.

N - натуральные числа, если определена операция следования «+1»:N->N. При этом:

P1 Если n+1=m+1 => n=m

P2 Нет такого n, что n+1=1

P3 Всякое подмножество Q М P, которое содержит 1, и вместе с n из Q содержит и n+1 равно P.

Веками формировалась школьная традиция обучения сложению и умножения на «палочках»:

- Чтобы сложить 2 кучки из 2-х и 3-х палочек надо просто свалить все палочки в одну кучу.

- Чтобы перемножить 2 на 3 надо 3-жды тиражировать 2 палочки или 2-жды тиражировать 3 палочки.

Всем это было предельно ясно, пока не появился господин Кантор. Он обнаружил, что рассмотрение очень больших кучек приводит к другим законам - логически парадоксальным. Математики долго ломали головы, чтобы разобраться с канторовыми парадоксами. Но тщетно, построить универсальную «Канторову линейку», которая измеряет всё вообще, не удалось и вряд ли удастся.

Первыми «канторов рай» покинули алгебраисты. Они обнаружили, что главное не в размерах кучек. А главное в том, что складывая две кучки A,B в одну A+B, мы строим два вложения A->A+B<-B. Соответственно, перемножая две кучки AxB, мы строим две проекции A<-AxB->B.

Оказывается, что для того, чтобы складывать и умножать меньше всего нужна «канторова теория множеств» с дремучей аксиоматикой. - Вполне достаточно выполнения простых универсальных свойств - любая пара отображений A->X<-B вполне характеризуется единственным A+B->X, или проходит через A+B, а любая пара отображений A<-X->B вполне характеризуется единственным AxB<-X, или проходит через AxB, так что коммутативны диаграммы:

Таким образом, складывать и умножать можно объекты самой невероятной природы.

Более того, для деления - вместо «канторовой теории» вполне достаточно другого универсального свойства.

Подробно о педагогике:

Компетентностный подход к обучению как средство формирования у младших школьников умения решать проблемы во взаимоотношениях людей
Понятия «компетентностный подход» и «ключевые компетентности» получили распространение сравнительно недавно в связи с дискуссиями о проблемах и путях модернизации российского образования. Обращение к этим понятиям связано со стремлением определить необходимые изменения в образовании, в том числе в ...

Методические рекомендации к проведению уроков по теме: "Строение, функции и гигиена кожи"
Материал этой темы раскрывает огромное значение кожи как покровного органа, осуществляющего роль внешнего барьера в обмене веществ организма с окружающей средой. Рассматривая содержание понятия "кожа" учителю следует касаться свойств кожи как самого крупного органа нашего тела, основные ф ...

Влияние малых форм фольклора на развитие образной речи детей старшего дошкольного возраста
Народная педагогика использует в качестве основных средств воспитания все компоненты народной культуры. Ведущим компонентом народной культуры является – фольклор. Фольклор, имеет ярко выраженную эстетическую направленность. Произведения, созданные специально для детей, составляют особую область нар ...